传递函数

Transform Fuction
复变量的有理分式函数

线性时不变系统中,定义为:

零初始条件下,系统输出量与输入量的拉普拉斯变换之比

Pasted image 20240416181820.png

一、传递函数标准形式

1. 首 1 标准型

零极点形式,常见于根轨迹法基础

G(s)=b0(sz1)(sz2)(szm)a0(sp1)(sp2)(spn)=Ki=1m(szi)j=1n(spj)

2. 尾 1 标准型

常见于频域分析法

G(s)=Ki=1m1(τis+1)k=1m2(τk2s2+2ζkτks+1)svj=1n1(Tjs+1)l=1n2(Tl2s2+2ζlTls+1)

二、极点与零点

零极点
极点:分母多项式的解 ×
特征方程的根(特征根),可以受输入函数的激发,在输出响应中形成自由运动的模态
如果有极点 p1,p2,则有模态:ep1t ep2t
零点:分子多项式的解 O
不形成自由运动的模态,但是影响各模态在响应中所占的比重,影响响应曲线的形状

注意

  1. 零点、极点、原点三者之间的距离共同影响响应曲线
  2. 实际上,非零初始条件不会影响系统的传递函数,非零的输入与实际输入量满足叠加原理

三、传递函数的计算

经典输入信号

基本传函

Pasted image 20240419201932.png

  1. 前向通路传递函数:输入端到输出端的通路的传递函数的乘积 (看输入输出信号)
  2. 开环传递函数:打开主反馈回路主反馈信号与误差信号之比 (与输入信号无关,由系统本身结构决定)
Go(S)=B(s)E(s)=Gc(s)Gp(s)H(s)
  1. 闭环传递函数:=1+
  2. 误差传递函数:误差信号与输入信号之比
C(s)R(s)=Gc(s)Gp(s)1+Go(s)C(s)N(s)=Gp(s)1+Go(s)E(s)N(s)=Gp(s)H(s)1+Go(s)

求传递函数的方法

四、时间响应

已知传递函数 G(s),求给定输入 I(s) 下系统的输出 O(s) 最终输出 o(+)
一般给定输入为经典输入信号,求时间响应:主要使用拉普拉斯变换#6.极限性质

O(s)=G(s)I(s)o(+)=lims0sG(s)I(s)

五、经典环节的传递函数

经典环节的传递函数

RLC 电路

电路元件的传递函数

复数阻抗法:列写网络的微分方程时,由于流过电流相同。可以直接将输出电压和输入电压的比值,直接列写出传函,再拉普拉斯逆变换,求时域的微分关系

例题

Uo(s)Ui(s)=R2+1C2sR11C1sR1+1C1s+R2+1C2s

六、非零初始条件的传递函数

基本流程

L[f(t)]=sF(s)f(0)L[f(t)]=s2F(s)[sf(0)+f(0)]L[f(t)]=s3F(s)[s2f(0)+sf(0)+f(0)]

例题

控制系统传递函数为:G(s)=C(s)R(s)=1s+2,当初始条件 c(0)=1 时,求系统的单位阶跃响应

  1. 已有传递函数:(s+2)C(s)=R(s)

  2. 拉式逆变换,对应的微分方程:dc(t)dt+2c(t)=r(t)

  3. 拉氏变换,得到有初值的传递函数:sC(s)c(0)+2C(s)=1s

C(s)=s+1s(s+2)=12(1s+1s+2)

  1. 拉普拉斯逆变换,得到时间响应:c(t)=12(1+e2t)

求时间响应 y(t)

d2ydt2+5dydt+6y(t)=6x(t) s2Y(s)sf(0)f(0)+5[sY(s)f(0)]+6Y(s)=6sY(s)=6(s2+5s+6)s+2s+12s2+5s+6=1s+3s+2+2s+3+8s+2+6s+3y(t)=1(t)+5e2t4e3t